Броуновское движение

Самой простой (и, как следствие, наиболее привлекательной) моделью случайной флуктуации (колебаний) является «броуновское движение»; в такой модели постулируется непрерывность цен и то что, их последовательные изменения суть независимые гауссовские случайные величины (где предшествующие изменения цены не связаны с прошлыми или будущими ее изменениями ), т.е. рынок не обладает памятью, он воспринимает вновь поступившую информацию и мгновенно забывает о прошлых событиях. Пример броуновского движения можно увидеть на рис.22.

Рис. 22

В броуновском движении независимы не положения частицы в разные моменты времени - смещение частицы в течении одного промежутка времени не зависит от ее же смещения в течение другого интервала времени. Увеличив разрешение микроскопа и временное разрешение, мы вновь получим подобное случайное блуждание, броуновское движение самоподобно! (рис.23).

Рис. 23

На рис.23 показаны положения частицы регистрируемые на каждом втором шаге процесса из 10000 независимых шагов движения частицы. Каждое приращение (интервал) здесь — сумма 2-х независимых шагов. Этот рисунок показывает, как координата частицы меняется со временем 2t. Кривая представляет собой дискретный набор точек с определенным временным интервалом, между их фиксацией рис.24.

Рис. 24

Рис. 25

На рис.25 показаны положения частицы регистрируемые на каждом четвертом шаге процесса из 10000 независимых шагов движения частицы. Как видно, что рис.25 мало чем отличается от рис.26, разве, что временным масштабом приращений, которые теперь стали вдвое больше. На грубом примере это можно представить, как если бы мы в первом случаи при фиксации точек отрывали карандаш на 2 секунды, а во втором на 4. Свойство броуновских диаграмм не менять «вида» при изменении разрешения называется масштабной инвариантностью броуновских диаграмм.

Рис. 26

Для тех кто не видит схожести между рисунками я сделал рис.26, для того чтобы было более понятно, что они действительно похожи. О том почему я так перевернул рис.26 мы поговорим в главе «Зеркальность биржевых цен».

Рис. 26

И так давайте подведем небольшой итог выше сказанному. Броуновское движение не зависит от прошлых событий, однако оно самоподобно в течении одного, независимого от другого, промежутка времени. Как видно из рис.23,25 они очень напоминают ход биржевых цен. Пока мы можем только сказать, что есть схожесть, но броуновское движение описывается нормальным распределением (рис.20), которое не соответствует реальному поведению цен.

Если теория предельной центральной теоремы постулирует непрерывность цен, то значения цен встречающиеся в действительности таковыми не являются. При этом каждый раз когда цена терпит сильный разрыв (рис.27), к хвостам распределения изменения цены добавляется новая точка. Это говорит о том что симптом «длинных хвостов» тесно связан с симптомом «разрывности в цене».

Рис. 27

Имея дело с котировками на валютном рынке надо быть готовым встретить скачки, которые сохраняют свое значение даже с долговременной точки зрения. Теоретическое обоснование выше сказанному можно подтвердить на следующих примерах: и спрос, и предложение, определяющие цену, определяются как объективными факторами, так и предчувствиями.

Давайте разберемся, как же может быть так, что цены все же являются броуновским движением, но при этом будут иметь распределение изображенное на рис.20 Для того, что бы ответить на поставленную нами задачу нам необходимо познакомиться с показателем Херста.

Гарольд Эдвин Херст (1880-1978) - английский физик, ставший великим «нилологом» и заслуживший прозвище Абу Нил, «отец Нила». Наука обязана ему одним замечательным статистическим изобретением и одним замечательным эмпирическим (практическим) открытием, которые связаны с идеей об измерении интенсивности некоторой хроники (событий) стремиться быть циклической, но НЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ, - поведение, представляющее собой один из аспектов долговременной статистической зависимости прошлого от будущего.

Здесь мы вспомним про нашу частицу, движение которой представляется броуновским. Мы помним, что координаты частицы в одном промежутке времени подобны ее же координатам в другом промежутке, однако появление циклов носит не периодический характер, т.е мы не знаем дальнейшее положение частицы через определенное время t.

Херст, не отдавая себе в этом отчета, ввел новую статистическую технику, основанную на выражении R(t, d)/S(t, d). Этот метод был назван R/S анализ. В данной книге мы не будем разбирать этот метод, поскольку он не имеет прямого отношения к нашей с вами задаче, для тех кому интересно применение данного анализа к биржевым ценам, могут прочесть Эдгара Петерса «Фрактальный анализ финансовых рынков». Нас же больше интересует результат, который получил Херст, используя данный метод.

Эмпирическое открытие Херста состоят в том, что диаграммы R/S, относящиеся к эмпирическим хроникам, в общем случае состоят из кривых, тесно обвивающих некоторую прямую, но УГОЛ наклона Н этой прямой изменяется от случая к случаю. Проще говоря различные кривы ведут себя очень по - разному, они располагаются вблизи некоторой прямой, угол наклона которой, Н, зачастую превосходит 0,5 (т.е не соответствует нормальному распределению). Показатель Херста изображен на рис.28.

Рис. 28

Волнистой линей изображен временной ряд (совокупность наблюдаемых параметров изучаемой системы во времени) цен. Прямая линия представляет собой показатель Н (Херста) расположенную под углом со значением 0,5

Когда Н = 0,5 график будет соответствовать нормальному распределению и являться случайным. Если 0<Н<0,5 , то процесс является антиперсистентным, - когда восходящая тенденция сменяется нисходящей или наоборот, т.е есть зависимость между движениями частиц (цен), но она является обратной.

При 0,5<Н<1, процесс является персистентным, - если мы наблюдаем восходящую тенденцию то в будущем она продолжит свой рост.

Когда Н возрастает от 0,5 до 1, устойчивость становится все заметнее. С практической точки зрения это выражается в том, что возникающие разнородные «циклы» - не имеющие, не забываем, никакого периодического характера — различаются все яснее. В частности, большую важность становятся медленные циклы.

Неравенство Н>0,5, исключает гипотезу о том, что все величины являются независимыми и гауссовскими, а феномен Херста есть ни что иное как проявление самоафинности.

Что такое самоафинность мы рассмотрим в разделе курса 4 «Генератор — золотой Грааль на рынке», сейчас нас больше интересует такое понятие, как: обобщенное броуновское движение.

Обобщенное броуновское движение было введено Мандельбротом через обобщение случайной функции X(t) (случайные блуждания) путем замены показателя Н = 0,5 на любое действительное число из интервала 0<Н<1.

Обобщенное броуновское движение - это класс гауссовских процессов позволяющих показателю Н принимать произвольные значения от 0 до 1.

О чем нам это может сказать? Все дело в том, что распределения цен изображенных на рис.4 отличаются от цен на рис.3, как мы это уже видели, высоким пиком и толстыми хвостами. При этом функция с нормальным распределением (т.е гауссовская зависимость) имеет показатель Н = 0,5, тогда как функция соответствующая распределению цен имеет показатель 0,5<Н<1. Получается, что введя понятие обобщенного броуновского движения Мандельброт показал, что при разнице свойств моделей, движение цены валютных пар представляет собой броуновское движение - обыкновенное или дробное! Малого того в зависимости от значения Н цена может обладать персистентными или антеперсистентыми свойствами.

Хорошо, цена имеет вид броуновского движения, однако, что нам может дать это в торговле и причем здесь волны Элиота? Мы выяснили, что одним из свойств и причем самым важным для броуновского движения, является то что оно имеет НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ. Теперь нам нужно понять, как выглядит цикл и, что поможет нам его определять. Для того, чтобы подняться на вершину выше, по сравнению с теорией предложенной Эллиотом, мы должны познакомиться с таким понятием, как фрактал.

(Материалы приведены на основании: А. Алмазов. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки)